Построение эконометрической модели на основе системы одночасовой структурных уравнений часть 1

1 Идентифицируем переменные модели:

< p> & mdash; равновесное количество потребления продукта, эндогенная переменная;

& mdash; цена за единицу продукции, эндогенная переменная;

 — доход на душу населения, экзогенная переменная;

 — затраты на производство единицы продукции, экзогенная переменная.

Функция спроса:;

Функция предложения:;

Условие рыночного равновесия:.

2. специфицирует модель на основе системы одночасовой структурных уравнений:

;

;

.

Эта система одночасовой структурных уравнений можно переписать в виде:

;

.

3. Рассмотрим условия идентификованости каждого уравнения модели:

3.1. ;

;

;

, отсюда первое уравнение системы является точноидентификованим.

3.2. ;

;

;

, отсюда второе уравнение системы также точноидентификованим.

Поскольку оба уравнения системы является точноидентификованимы, то оценку параметров модели можно выполнить косвенным методом наименьших квадратов.

4. Оценим параметры модели НМНК.

4.1. Перейдем от структурной к приведенной формы уравнений. Для этого во втором уравнении вместо подставим выражение в правой части первого уравнения.

Запишем

(1); (1)

(2). (2)

Подставим значение во второе уравнение, отсюда

;

;

;

.

Разделим обе части уравнения на и получим:

.

Заменим

;

;

.

В результате получим второе уравнение модели в приведенной форме:

.

А теперь значение структурного уравнения (2) подставим в первое уравнение модели (1) и приведем его к приведенной формы.

;

.

Перенесем в левую часть уравнения:

.

Разделим обе части уравнения на и получим:

.

Заменим

;

;

.

В результате получим первое уравнение модели в приведенной форме:

.

Таким образом, эконометрическая модель в приведенной форме:

;

.

Оценим параметры каждого уравнения этой модели по методу 1МНК:

.

Стандартные ошибки:

;

.

.

Стандартные ошибки:

;

.

Перейдем от приведенной формы к структурной. Для этого решим систему уравнений:

где

;

;

.

Отсюда

;

.

Умножив матрицы, получим систему уравнений:

.

Эта система содержит шесть неизвестных параметров. Выразив два из них два других (второе и третье уравнения) перейдем к системе четырех линейных уравнений с четырьмя неизвестными. Решив ее, найдем неизвестные параметры эконометрической модели в структурной форме.

Получить эконометрические уравнения в структурной форме можно исключив переменную из первого уравнения в приведенной форме и с другой.

Определим из второго уравнения приведенной формы модели:

;

;

.

Подставим это значение в первое уравнение приведенной формы модели:

Отсюда:.

Определим из первого уравнения приведенной формы модели:

;

;

.

Подставим это значение во второе уравнение приведенной формы модели:

;

Отсюда.

Таким образом, эконометрическая модель в структурной форме запишется так:

;

.

Определим коэффициенты эластичности:

;

;

.

На основе коэффициентов эластичности можно сделать вывод, что при росте цены на 1% равновесное количество потребления продукта увеличится на 0,016% . При увеличении дохода на 1% равновесное количество потребления увеличится на 0,298%. Рост затрат на производство на 1% будет способствовать снижению цены на 1,07%.

Среди этих соотношений лишь второе, которое характеризует связь между доходом и количеством потребления, может соответствовать реальным условиям. Первое и третье соотношение не соответствуют теоретическим представлениям об этой связи. На практике, как правило, он имеет противоположное направление. Рост цен может снижать потребление, а увеличение затрат на производство будет способствовать росту цен, а не наоборот. Но здесь надо иметь в виду, что данные рассматриваемого примера являются условными, которые использованы для отработки методики использования НМНК.

Пример 9.3. Пусть наблюдения выходных данных заданы в виде таких матриц

; ;

Эконометрическая модель, которая может быть построена на основе этих данных, состоит из трех уравнений, одно из которых имеет вид:

.

Модель имеет еще три экзогенные переменные & mdash; . Необходимо найти оценки параметров этого уравнения модели на основе двушагового метода наименьших квадратов и оценить ее стандартные ошибки, если дисперсия остатков равна 0,6.

Решение

Шаг 1. Проверим уравнение модели на Идентифицируемость. Для этого рассмотрим неравенство

где & mdash; количество эндогенных переменных, входящих в это уравнение;

& mdash; общее количество экзогенных переменных

& mdash; количество экзогенных переменных, входящих в это уравнение модели;

;

Таким образом, приведенное уравнение модели является надидентификованим.

Шаг 2. Запишем оператор оценивания параметров 2МНК

.

В этом операторе

& mdash; вектор зависимой (эндогенной) переменной:;

& mdash; матрица текущих эндогенных переменных, входящих в правую часть уравнения:;

& mdash; матрица всех объясняющих (экзогенных) переменных модели:

;

& mdash; матрица экзогенных переменных данного уравнения,

Шаг 3. Найдем произведение матриц согласно оператором оценивания 2МНК

3.1 . .

Эти данные взяты из матрицы (второй и третий строки).

3.2. .

Поскольку матрица является диагональной (это означает, что все переменные взяты как отклонения от своего среднего значения), отсюда тоже диагональная матрица.

3.3.

3.4.

  1. ; ; .

Отсюда блочная матрица имеет вид:

.

3.6. Найдем обратную матрицу к матрице

.

3.7. Рассчитаем произведение матриц, находящихся в правой части оператора

; .

Есть вектор:.

Шаг 4. Определим оценки параметров из уравнения:

.

Первое уравнение эконометрической модели запишется так:

.

Шаг 5. Определим асимптотические стандартные ошибки найденных оценок параметров уравнения:

;

;

;

;

; ;

.

Стандартные ошибки относительно абсолютного значения составляют соответственно 24,9% , 28,8% , 38,7% , а это свидетельствует о том, что оценки параметров уравнения является смещенными и неэффективными.

ЛИТЕРАТУРА

  1. Джонстон Дж. эконометрические методы. & mdash; М., 1980.

  2. Дрейлер Н., Смит Г. Прикладной регрессионный анализ. & mdash; М .: Финансы и статистика, 1986.

  3. Кейн Э. Экономическая статистика и эконометрия. & mdash; М .: 1977. — Вып.12.

  4. Класc А., Гергель К., Колек Ю., Шуян И. Введение в эконометрической моделирование. — М., 1975.

  5. Крамер Г. Математические методы статистики. & mdash; М., 1975.

  6. Ланге О. Введение в эконометрику. — М., 1964.

  7. Лизер С. эконометрические методы и задачи. — М., 1971.

  8. Линник Ю. В. Метод наименьших квадратов и основы математико статистической обработки наблюдений. & mdash; М., 1962.

  9. Маленво Э. Статистические методы в эконометриы. & mdash; М., 1975 — 1 976. Вып. 1,2.

  10. Мальцев А. Н. Основы линейной алгебры. — М., 1975.

  11. Пирогов Г., Федоровский Ю. Проблемы структурного оценивания в эконометриы. — М., 1979.

  12. Ты н тнер Г. Введение в эконометрию. — М., 1964.

  13. Фишер Ф. Проблема идентификации в эконометриы. & mdash; М., 1978.

  14. Чупров А. А. Основные проблемы теории корреляции. & mdash; М., 1960. второй изд.

  15. Klein L. R., Goldberger A. S. An Ekonometric Model of United States, 1929 — 1952 North Holland, Amsterdam, 1964