Метод инструментальных переменных часть 1

Реферат на тему:

Метод инструментальных переменных

Автокорреляция элементов временного ряда может быть описана на основе авторегрессионной функции определенного порядка. Но когда речь идет о моделировании взаимосвязей на основе многомерных временных рядов, где необходимо количественно описать зависимость одной переменной от других и учесть автокорреляции зависимой переменной, то эконометрическая модель будет иметь лагов переменную Y , входящий в поясняющих переменных , то есть:

.

Приведем экономические примеры:

Пример 1. Пусть требуется построить эконометрическую модель, характеризующая зависимость объема инвестиций от технического уровня о 'объекта инвестирования и эффективности экономической деятельности. В этом случае исходная информация должна иметь три временных ряда, один из которых будет характеризовать объем изменения капитальных вложений во времени, второй & mdash; технический уровень объекта инвестирования, а третий & mdash; эффективность экономической деятельности. При этом каждое следующее значение временного ряда будет находиться в определенной зависимости от предыдущего. Например, если в предыдущем году в данный объект было вложено большую часть инвестиций, то, очевидно, что в следующем году их уровень может значительно уменьшиться из-за экономического и техническую нецелесообразности. А это значит, что эконометрическая модель приведенной зависимости в общем виде:

где & mdash; объем инвестиций в периоде; & mdash; объем инвестиций в периоде t  — 1; X 1 t & mdash; фондоемкость основных фондов в периоде t ; X 2 t & mdash; рентабельность экономической деятельности в периоде t ; u t & mdash; стохастическая составляющая, остатки.

Пример 2. Пусть надо построить эконометрическую модель, характеризующая зависимость между уровнем экспорта определенной продукции и объемом ее производства. Строя эту эконометрическую модель на основе двух временных рядов, нужно также учесть тот факт, что уровень экспорта в период t , как правило, коррелирует с его уровнем в период t  — 1. Поэтому эконометрическая модель будет иметь общий вид:

где & mdash; уровень экспорта продукции в период;

& mdash; уровень экспорта продукции в период;

& mdash; объем производства в период;

& mdash; остатки.

Можно было бы привести еще много примеров, когда зависимая переменная () эконометрической модели зависит не только от объясняющих переменных, но и от своего предыдущего значения — . В таких случаях нарушается Третья предпосылка для применения метода 1МНК при оценке параметров модели, то есть объясняющие переменные коррелируют с остатками (). В этом случае они становятся стохастическими переменными.

Учитывая, что влияет на, а — , то и влияет на даже тогда, когда последовательные значения остатков являются независимыми.

Если в этом случае оценки параметров модели будут определяться на основе метода 1МНК, то они будут необоснованными. Заметим, что даже если только один элемент вектора, мы можем получить все элементы вектора (все оценки модели) необоснованными.

Второй причиной, которая может привести к нарушению Третья предпосылка, когда, является наличие ошибок в исходной информации.

До сих пор предполагалось, что переменные эконометрической модели измеряются без ошибок, и только остатки & mdash; это единственная форма ошибок, которая допускается. Но очень часто при измерении переменных, которые включаются в эконометрическую модель, допускаются ошибки. Наличие этих ошибок влияет на оценку параметров модели. Так, если матрица объясняющих переменных X имеет ошибки, то ее можно записать как сумму двух матриц

где & mdash; матрица действительных значений объясняющих переменных

& mdash; матрица ошибок.

Отсюда эконометрическая модель будет иметь вид:

.

Обоснованность оценок параметров этой модели зависит от того, равна нулю матрица ковариаций переменных с остатками, то есть:

.

, в свою очередь, можно записать так:

.

Если в этих соотношениях допустить, что матрицу X (как ее действительные значения, так и ошибки) предельно не коррелируют с остатками, то есть:

и,

то матрица ковариации ошибок чаще всего не равна нулю,

, а это означает, что при наличии ошибок измерения переменных оценка параметров модели по методу 1МНК является необоснованным и асимптотически смещенной.

Корреляция между объясняющими переменными и остатками является серьезным препятствием для применения метода 1МНК.

Метод инструментальных переменных

В этом случае для оценки параметров модели используется метод инструментальных переменных, оператор оценивания которого запишется так:

,

где & mdash; матрица инструментальных переменных

& mdash; матрица, транспонированная к матрице;

& mdash; матрица объясняющих переменных

& mdash; вектор зависимой переменной.

Способы определения инструментальных переменных

Оператор оценивания Вальда применяется для модели с двумя переменными: < / p>

.

В этом операторе инструментальные переменные определяются следующим образом:

1) находятся отклонения индивидуальных значений переменной от своей медианы;

2) те отклонения, которые имеют положительный знак, заменяются единицами, а те, которые имеют отрицательный знак, & mdash; минус единицами.

Оценки параметров модели рассчитываются так:

и & mdash; средние значения отклонений от медианы вверх и вниз

и & mdash; средние значения зависимой переменной, соответствующие

и.

Пример 7.1. На основе данных, приведенных в табл. 7.1, построить эконометрическую модель, которая количественно описывает зависимость производительности труда от затрат на прикладные исследования, причем приведены данные по затратам на прикладные исследования могут иметь ошибки измерения.

Таблица 7.1

< / TR>

< td>

0,0576

Год

производительного ность труда

Затраты на прикладные исследо — вания

Средства-тальная переменная

1

7,3

18

-7

-1

7,21

0,09

0,0081

0,7396

2

7,5

19

-6

-1

7,38

0 , 12

0,0144

0,4356

3

7,7

21

-4

-1

7,72

0,02

0,0004

0,2116

4

7,9

23

< / TD>

-2

-1

8,06

-0,16

0,0256

0,0676

5

8,2

24

-1

-1

8,23 < / p>

-0,03

0,0009

0, +0016

6

8,4

25

0

1

8 40

0

0,0000

0, +0576

7

8,6

25

0

1

8 40

0,20

0,0400

0,1936

8

8,7

26

1

1

8,57

0,13

0,0169

< p> 0,2916

9

8,4

27

2

1

8,74

-0,34

0,1156

10

8,9

28

3

1

8,91

-0,01

0,0001

0,5476

0,2220

2, 6040

Решение

1 Идентифицируем переменные модели:

& mdash; производительность труда, зависимая переменная;

& mdash; затраты на прикладные исследования, независимая переменная.

2. специфицирует эконометрическую модель в линейном виде:

;

.

3. Поскольку независимая переменная модели может иметь ошибки измерения, а это значит, что она может коррелировать с остатками, то заменим ее инструментальной переменной.

Для определения инструментальной переменной методом Вальда

3.1. Найдем медиану переменной:

.

3.2. Определим отклонение каждого значения переменной от своей медианы; . Эти отклонения приведены в табл. 7.1.

3.3. Отрицательные отклонения заменим на 1, а положительные & mdash; на +1. Совокупность этих единиц является инструментальной переменной (см. Табл. 7.1).

4 . Чтобы оценить параметры эконометрической модели, на основе оператора Вальда определим

4 .1. Средние отклонения значений от медианы

;

.

4.2. Средние значения и, соответствующие средним значением и.

;

;

5. Рассчитаем оценки параметров модели:

;

;

;

.

Отсюда эконометрическая модель:

.

6. Определим общую дисперсию и дисперсию остатков

;

.

7 Рассчитаем коэффициенты детерминации и корреляции

7.1. ;

7.2. .

8 Анализ эконометрической модели.

Коэффициенты детерминации и корреляции свидетельствуют о том, что построенная модель является достоверной: связь, она количественно описывает, достаточно тесным. Так, коэффициент детерминации показывает, что на 90% вариация производительности труда определяется вариацией затрат на прикладные исследования. Оценка параметра определяет предельную изменение производительности труда, если затраты на прикладные исследования изменятся на единицу.

Коэффициент эластичности показывает, что увеличение затрат на прикладные исследования на 1% будет способствовать увеличению производительности труда на 0,49%.