Построение модели с автокорельованимы остатками

Реферат на тему:

Построение модели с автокорельованимы остатками

В эконометрических исследованиях часто встречаются такие случаи, когда дисперсия остатков является постоянной, но наблюдается их ковариация. Это явление называется автокорреляции остатков.

Автокорреляция остатков возникает чаще всего тогда, когда эконометрическая модель строится на основе временных рядов. Если существует корреляция между последовательными значениями некоторой независимой переменной, то будет наблюдаться и корреляция последовательных значений остатков. То есть в этом случае также нарушается гипотеза, согласно которой, но при гетероскедастичности меняется дисперсия остатков при отсутствии их ковариации, а при автокорреляции & mdash; существует ковариация остатков при неизменной дисперсии.

При автокорреляции остатков, как и при гетероскедастичности дисперсия остатков запишется

но матрица будет иметь здесь совсем другой вид. Запишем эту матрицу:

.

В данной матрице параметр & # 61 554; характеризует ковариацию каждого следующего значения остатков с предыдущим. Так, если для остатков записать авторегрессионную модель первого порядка:

то & # 61 554; характеризует силу связи величины остатков в период t от величины остатков в период t — 1

Если проигнорировать матрицу при определении дисперсии остатков, и для оценки параметров модели применить метод 1МНК, то возможны такие последствия

1) оценки параметров модели могут быть смещена, но неэффективными, то есть выборочные дисперсии вектора оценок могут быть неоправданно большими;

2) статистические критерии t и F  — статистики, полученные для классической линейной модели, практически не могут быть использованы для дисперсионного анализа, так как их расчет не учитывает наличия ковариации остатков;

3) неэффективность оценок параметров эконометрической модели, как правило, приводит к неэффективным прогнозов, т. е. прогнозные значения иметь большую выборочную дисперсию.

1. Критерий Дарбина & mdash; Уотсона

Критерий Дарбина & mdash; Уотсона может принимать значения на множестве. Если остатки u t являются случайными величинами, то есть не автокорельованимы, то значение находится вблизи 2. При положительной автокорреляции, при отрицательной.

Значение критерия табулированные на интервале, где & mdash; нижняя граница, & mdash; Верхняя граница. Фактические значения критерия сравниваются с табличными (критическими) для числа наблюдений n и числа независимых переменных при выбранном уровне доверия & # 61537; . Если факт, остатки должны автокорреляции. Если факт, принимается гипотеза об отсутствии автокорреляции. Если DW 1,

< DW 2 конкретных выводов сделать нельзя.

2. Критерий фон Неймана

Отсюда, при,. Фактическое значение критерия фон Неймана сравнивается с табличным при выбранном уровне доверия & # +61537; и заданном числе наблюдений. Если Q факт табл, то существует положительная автокорреляция.

3. Нециклические коэффициент автокорреляции

.

r * может принимать значения в интервале. Отрицательные значения свидетельствуют о отрицательную автокорреляции, положительные & mdash; о положительную. Значения, находящиеся в некоторой критической области около нуля, свидетельствуют об отсутствии автокорреляции.

4. Циклический коэффициент автокорреляции

.

Фактическое значение этого критерия сравнивается с табличным для выбранного уровня доверия и длины ряда наблюдений n . Если r 0факт & # 61619; r 0табл, то существует автокорреляция. Предполагая, что

циклический коэффициент автокорреляции можно записать так:

.

Оценка параметров модели с автокорельованимы остатками можно выполнять на основе четырех методов:

1) Эйткена;

2) преобразование исходной информации;

3) Кочрена & mdash; Оркатта;

4) Дарбина.

Первые два метода целесообразно применять тогда, когда остатки описываются авторегрессионной моделью первой степени:

.

Итеративные методы Кочрена & mdash; Оркатта и Дарбина можно применять для оценки параметров эконометрической модели и тогда, когда остатки описываются авторегрессионной моделью более высокой степени

;

.

1. Метод Эйткена

Оператор оценивания этим методом запишется так:

или

где & mdash; матрица, обратная к матрице (см. стр. 77);

& mdash; матрица, обратная к матрице.

Поскольку в матрице ковариация остатков при стремится к нулю, то матрица, обратная к матрице, будет иметь следующий вид:

.

На практике для расчета & # 61 554; используется соотношение:

или

2. Метод преобразования исходной информации

Этот метод состоит из двух шагов:

1) преобразование исходной информации при применении для этого параметра & # +61554; ;

2) применение метода 1МНК для оценки параметров модели на основе преобразованных данных.

Преобразование исходной информации выполняется с помощью матриц или

;

то есть вместо матрицы X используем или, вместо вектора & mdash; или.

3. Метод Кочрена & mdash; Оркатта

Этот метод является итеративным методом приближенного поиска параметров и, которые минимизируют сумму квадратов остатков.

Когда эконометрическая модель имеет вид:

;

сумма квадратов остатков запишется так:

.

Алгоритм

Шаг 1. Произвольно выбирается значение и подставляется в формулу суммы квадратов остатков.

Шаг 2. На основе метода 1МНК находятся параметры и.

Шаг 3. Приняв и, подставим в формулу суммы квадратов остатков и рассчитаем.

Шаг 4. Подставив, рассчитаем параметры и и т. д.

Процедура продолжается до тех пор, пока последовательные значения параметров будут неотличимы менее чем на заданную величину.

4. Метод Дарбина

Этот метод базируется на простой двухшаговая процедуре.

Шаг 1. Подставим значения остатков, которое подчиняется авторегрессионные модели первого порядка

в эконометрическую модель

тогда получим:

где.

Отсюда

& # 61 541; t в данном случае имеет скалярную матрицу дисперсий

На основе метода 1МНК рассчитываются оценки параметров,,.

Шаг 2. Оценка параметрa используется для преобразования переменных и, а метод 1МНК уже применяется для преобразованных данных.

Прогноз на основе эконометрической модели с автокорельованимы остатками выполняется так:

.

Эконометрическая модель с автокорельованимы остатками

построение и анализ

Пример 6.2. На основе двух взаимосвязанных временных рядов о розничный товарооборот и доходы населения построить эконометрическую модель, характеризующая зависимость розничного товарооборота от дохода. Исходные данные приведены в табл. 6.1.

Таблица 6.1

Год

Розничный товарооборот

Доход

1-й

24,0

27,1

2-й

25,0

28,2

3-й

25,7

29,3

4-й

27,0

31,3

5-й

< p> 28,8

34,0

6-й

30,8

36,0

7-й

33,8

38,7

8-й

38,1

43,2

9-й

43,4

50,0

10-й

45,5

< / TD>

52,1

Решение

1. Идентифицируем переменные модели:

Y t & mdash; розничный товарооборот в период t , зависимая переменная;

X t & mdash; доход в период, объясняющая переменная;

Отсюда

где u t & mdash; стохастическая составляющая, остатки.

2. специфицирует эконометрическую модель в линейной форме:

;

;

.

3. Определим параметры модели на основе метода 1МНК, предположив, что остатки некоррелированы

где & mdash; матрица, транспонированная к матрице.

; ;

;

;

;

; .

Эконометрическая модель имеет вид:

.

4. Найдем расчетные значения розничного товарооборота на основе модели и определим остатки u t .

Таблица 6.2

< td>

24,5637

< tr>

< td>

-0,7805

< td>

0,0167

Год

< / TD>

1-й

24,0

23,6123

< p> 0,3877

0,1503

& mdash;

& mdash;

& mdash;

2-й

25,0

0,4363

0,1903

0,0485

0,0024

0,1691

3-й

25,7

25 5 152

0,4848

0,0342

 — 0,2515

0,0632

0,0806

4-й

27,0

27,2451

< / TD>

-0,2451

0,0601

-0,4299

0,1848

-0,0453

5-й

28,8

29,5805

0,6092

-0,5354

0,2866

0,1913

6 й

30,8

31,3104

-0,5104

0,2605

0,2701

< p> 0,0729

0,3984

7-й

33,8

33,6458

0,1542

0,0238

0,6646

0,4417

-0,0787

8-й

38,1

37,9706

0,1294

-0,0248

0,0006

0,0199

9-й

43, 4

43,4199

-0,0199

0,0004

-0,1492

0,0222

< p> -0,0026

10-й

45,5

45,2363

0,2637

0,0695

0,2836

0,0804

-0,0052

322,1

< / TD>

1,4151

1,1550

0,7276