Системы линейных уравнений

Реферат на тему:

Системы линейных уравнений

Запишем систему уравнений в матричном виде

АХ = В , (3.32)

< p> где

Матрица А является квадратной порядка n ; вектор-столбец Х имеет размер n 1; вектор-столбец В & mdash; порядок n 1

Если матрица А невырожденная, то есть rgA = n и, то система линейных уравнений (3.32) имеет единственное решение вида

(3.33)

Пример 3.5. Найти решение системы

В матричном виде:

AX = B ;

следовательно,

.

= -2 — 15 = -17 & mdash; матрица невырожденная.

Запомните: для матрицы обратная матрица имеет вид.

.

Итак,

Решение системы: = 1; = 3

Рассмотрим однородную систему линейных уравнений:

АХ = 0 (3.34)

Пусть А & mdash; квадратная матрица n го порядка; Х & mdash; вектор-столбец размера n 1

Тривиальный решение имеет вид:. Нетривиальный решение может существовать только при условии, что определитель матрицы А равна нулю:

Если это так, то система будет множество решений. Их можно нормировать, требуя, например, чтобы выполнялось равенство

(3.35)

Пример 3.6. Найти нетривиальные решения однородной системы уравнений.

(3.36)

, это означает, что заданная система нетривиальные решения.

Матрицу А можно записать как систему трех векторов:

Система (3.36) представим как линейную комбинацию вектора

(3.37)

Нетрудно увидеть, что; решениями системы (3.36) будут и эти же значения, умноженные на любые числа, которые удовлетворяют уравнению (3.37). Таким образом, система векторов является линейно зависимой, причем решения системы линейных уравнений (3.36) являются коэффициентами линейной комбинации вектора

(3.38)

Характеристические (собственные) корни и собственные векторы ю триць

Рассмотрим систему уравнений

(3.39)

где & mdash; скаляр; А & mdash; квадратная матрица порядка n , X & mdash; размером n 1

Система (3.39) запишем в виде

или

(3.40)

Последняя система n уравнений с n неизвестными имеет нетривиальный решение, когда

или (3.41)

Определение 3.21. Уравнение относительно называют характеристическим уравнением матрицы А.

Корни этого уравнения & # 61548; является характеристическими корнями (характеристическими числами, собственными значениями) матрицы А .

Возьмем любой корень характеристического уравнения (3.41) и подставим в систему уравнений (3.40). Получим уравнение

(3.42)

которое имеет нетривиальный решение, поскольку.

Пусть этим решением является вектор. Такой вектор является характеристическим, или собственным, вектором матрицы А , который соответствует характеристическом корню .

Если матрица А имеет n различных характеристических корней, то предполагать, что она имеет и n различных собственных векторов (задачи, которые имеют кратные характеристические корни в экономике встречаются редко).

Собственные векторы определяются с точностью до умножения на скаляр. Это не всегда удобно. Поэтому часто рассматривают нормированные собственные векторы, то есть такие что

.

Заметим, что когда матрица А в уравнении (3.40) & mdash; симметричная (то есть), а Х & mdash; матрица, каждый столбец которой является собственным вектором этой матрицы, то произведение

(3.43)

Итак, если собственные векторы матрицы А размещены в виде столбцов матрицы < I> Х , то произведение превращает матрицу А на диагональную матрицу которая имеет характеристические корни < I> & # 61548; на главной диагонали.

Пример 3.7. Найти характеристические корни матрицы А .

Запишем уравнения или

(3.44)

Запишем характеристическое уравнение для системы (3.44):

(3.45)

Итак,

. (3.46)

Пусть матрица А & mdash; симметричная, тогда и характеристические корни этой матрицы

. (3.47)

Подставив постепенно в систему (3.44), найдем собственные векторы X 1 , X 2 матрицы А .

Пример 3.8. Найти характеристические корни и собственные векторы X 1 , X 2 матрицы А

.

Матрица А симметричная. Для определения применим (3.47):

Чтобы найти собственные векторы i, решим для каждого систему уравнений (3.44).

Пусть, тогда

(3.48)

Нормализуем вектор, сводя его длину до 1, то есть:

(3.49)

Подставим (3.48) в (3.49):

Отсюда

Собственный вектор

(3.50)

Для нахождения собственного вектора положим.

Система (3.44) запишется в виде

(3.51)

Нормализуем вектор, сведя его длину до 1, то есть:

( 3.52)

Подставив (3.52) в (3.51), получим:

Собственный вектор

(3.53)

Заметим, что поскольку , то собственные векторы X 1 и X 2 ортогональны, то есть линейно независимы:

Проверим, выполняется (3.43):

Итак, соотношение действительно переводит матрицу А в диагональную матрицу. Это подтверждает правильность приведенных вычислений.

Квадратичные формы

Определение квадратичной формы

Определение 3.22. квадратичной формы от n неизвестных называется сумма, каждое слагаемое которой является квадратом одного из этих неизвестных или произведением двух различных неизвестных

(3.54)

Коэффициенты членов размещены на главной диагонали матрицы А , а остальные элементы матрицы симметричны и равны соответственно половинам коэффициентов при

Симметричную матрицу называют матрицей квадратичной формы. В векторно-матричной форме квадратичная форма имеет вид, где, A & mdash; симметричная матрица.

Рассмотрим, например, два случая.

1. Матрица А имеет размер 2 + 2, а именно. Тогда квадратичная форма

2. Матрица А диагональная, то есть

В таком случае

& mdash; весовая сумма квадратов.

Определение 3.23. квадратичной формы и соответствующую ей матрицу А называют положительно определенной тогда и только тогда, когда для всех действительных .

Определение 3.24. квадратичной формы и соответствующую ей матрицу называют положительно напиввизначеною, когда для всех Х.

Запомните важное свойство положительно определенных матриц.

Матрица А положительно определена тогда и только тогда, когда ее характеристические корни (собственные значения) положительные, а именно:

(3.55)

Уравнение (3.55) можем приспособить для нахождения иного результата, который полезен при изучении обобщенного метода наименьших квадратов.

Поскольку все положительные, можем задать диагональную матрицу D такого вида:

(3.56)

Нетрудно увидеть, что произведение (3.55 ) на матрицу D слева и справа дает единичную матрицу:

(3.57)

Пусть Z = XD < / I>, тогда

(3.58)

Поскольку матрицы Х и D & mdash; невырожденные, то Z & mdash; также невырожденная. Выполнив соответствующие преобразования, получим:

(3.59)

Итак, когда матрица А положительно определена, то можно найти такую ​​невырожденной матрицу,.

Случайные квадратичные формы

Пусть d & mdash; случайный вектор, А & mdash; детерминирована симметричная матрица.

Произведение называют случайной квадратичной формой, когда ковариационная матрица d равна и математическое ожидание M ( d ) = 0

Применив оператор математического ожидания случайной квадратичной формы, получим:

(3.60)

где tr ( A ) & mdash; следует матрицы А .

Приведем свойства случайной квадратичной формы.

Определение 3.25. 1. Квадратичная форма имеет распределение с k степенями свободы тогда и только тогда, когда А & mdash; идемпотентна матрица ( есть ) и rgA = trA = k.

2. Пусть В & mdash; детерминирована матрица, такая что BA = 0 и . Тогда и & mdash; независимы.

3. Если & mdash; симметричная матрица, то следует матрицы А является суммой ее собственных значений

4. Все собственные значения идемпотентна матрицы А равны нулю или единице, а именно:

если то ; однако , то есть , поскольку , то . Отсюда или .

5 . Матрица является идемпотентна, rgA = 1 и матрица Z имеет такое свойство, что ( ) & mdash; квадратная симметричная невырожденная матрица.

Пример 3.9. Пусть; тогда;

следовательно, матрица & mdash; невырожденная.

.

Определим новую матрицу А так:

.

Матрица А & mdash; симметричная и идемпотентна, поскольку. Заметим, что ранг матрицы А равен 1.

Найдя характеристические корни этой матрицы, то есть решив уравнение, получим = 1 и = 0 кратности 2, иллюстрирующий выполнение свойства 4.

Дифференцирование функции многих переменных (градиент функции f ( x ) )

Рассмотрим операцию дифференцирования функции многих переменных f ( x 1 , x 2 . x n ), когда переменные заданы в форме матрицы-строки или, что то же, вектора, то есть X = ( x 1 , x 2 . x n . Тогда можно коротко записать f ( x ) = (x 1 , x 2 . X n .