Метод инструментальных переменных часть 5

Когда выборочная совокупность содержит нечетное число наблюдений, то прежде чем начинать вычисления, необходимо отбросить среднее наблюдения.

При общих предположениях оценка, полученная методом Вальда, является обоснованной, но ее выборочная дисперсия может быть достаточно большой, то есть оценка является неэффективной.

Особенности оценки методом Бaртлета

Бартлет показал, что эффективность оценки можно увеличить, если разбить упорядоченные значение переменной X на три группы одинакового размера. Первая из них содержит наименьшие значения X , вторая & mdash; средние, а третья & mdash; крупные. Изъяв среднюю группу & mdash; n / 3 cпостережень, получим оценку для параметра

(9.19)

где, & mdash; средние величины для наблюдений, попавших в две крайние группы. Свободный член оценивается так же, как и в (9.18).

Разделение выборочной совокупности наблюдений на три равные группы должно удовлетворять требования прикладных исследований, поскольку нет возможности получить точную информацию о законе распределения значений X .

Оператор оценивания Дарбина

Дарбин предложил упорядочивать значения вектора X в порядке возрастания и ввел как инструментальную переменную порядковый номер (ранг) , то есть числа 1, 2, 3, 4,. n . Ученый показал, что для больших выборочных совокупностей эффективность применения такого метода оценки достигает почти 96% от эффективности оценок 1МНК, а для совокупностей n = 20 эффективность применения такого метода оценки составляет около 86%.

Модель Дарбина не имеет свободного члена. Чтобы применить его метод для оценки всех параметров модели, в том числе и для свободного члена, матрицы переменных представим в виде:

и

где характеризует отклонение от среднего значения, упорядочиваются по возрастанию .

Оператор оценивания

, (9.20)

причем, где и & mdash; порядковый номер.

дисперсия оценок параметров

. (9.21)

Метод Дарбина можно применять и тогда, когда модель содержит несколько объяснительных переменных. В таком случае сначала находятся отклонения значений каждой переменной от соответствующего среднего значения. Затем эти отклонения упорядочиваются по возрастанию и каждому из них присваивается порядковый номер.

Ошибки измерения переменных

Ранее мы предполагали, что переменные измеряются без ошибок, и только отклонения u & mdash; это единственная допустимая форма ошибок. Последнее было связано с намерением учесть влияние различных пояснительных переменных, которые не входят в эконометрической модели в явном виде.

Однако довольно часто при измерении переменных, относящихся к эконометрической модели, допускают ошибки. Тогда возникает вопрос, как наличие ошибок переменных может повлиять на оценку параметров модели?

Чтобы ответить на этот вопрос, рассмотрим матрицу независимых переменных X , элементы которой содержат ошибки.

Пусть

(9.22)

где & mdash; матрица размером n m настоящих (фактических) значений, а V & mdash; матрица ошибок измерения.

Тогда модель имеет вид

или

(9.23)

Оценка параметров для этой модели 1МНК иметь вид

где & mdash; величина смещения оценки.

Обоснованность этой оценки зависит от того, равна нулю

.

Запишем

По предположение, что остатки u не коррелируют предельно с переменными X (как с настоящими значениями, так и с их ошибками), можно утверждать следующее:

.

Однако

Таким образом, даже тогда, когда ошибки измерения переменных X не коррелируют с настоящими значениями этих переменных и первое слагаемое в правой части равен нулю, второе слагаемое , характеризующий матрицу ковариаций ошибок, обычно не равна нулю. А это значит, что при наличии ошибок измерения переменных оценка параметров моделей 1МНК является необоснованным и асимпотичне смещение определяется формулой

Например, если мы оцениваем параметры модели с двумя переменными 1МНК, то смещение

или

(9.24)

где & mdash; дисперсия ошибки измерения X , а & mdash; дисперсия настоящих значений X , причем предполагаем, что ошибки измерения не коррелируют с этими значениями X .

Уравнение (9.24) показывает, что оценка истинного значения параметра модели занижена. Например, как бы мы ни увеличивали совокупность наблюдений, если = 10% от, то оценка параметра отличаться от истинного значения также почти на 10%, то есть при наличии ошибок измерения переменных увеличение совокупности наблюдений не компенсирует смещения.

Поэтому при оценке параметров эконометрической модели, когда случаются ошибки измерения переменных, целесообразно применить метод инструментальных переменных, который мы рассмотрели ранее.

Пример 9.1. построить эконометрическую модель, характеризующая зависимость между занятостью населения и производством продукции, воспользовавшись данным, приведенным в табл. 9.1. Эти данные могут иметь ошибки измерения.

Таблица 9.1

< td>

168

Год < / p>

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 < / p>

Производство

130

128

194

157

195

205

142

225

133

Занятость

114

96

134

< p> 112

113

144

105

150

109

110

Решение.

1. Идентификация переменных и спецификация модели.

Пусть X & mdash; производство продукции, независимая (пояснительная) переменная, Y & mdash; занятости населения, зависимая переменная.

Эконометрическая модель имеет вид

Y t = a 0 + a 1 X t + u t ;

.

2. Оценка параметров модели.

Поскольку исходные данные могут иметь ошибки измерения, то для оценки параметров модели применим метод инструментальных переменных.

2.1. Оператор оценивания по методу инструментальных переменных

где Z & mdash; матрица инструментальных переменных X & mdash; матрица объяснительных переменных.

2.2. Определим матрицу инструментальных переменных методом Дарбина. Для этого упорядочим значения вектора X от меньшего к большему и предоставим каждому элементу этого вектора порядковый номер. Запишем эти данные в табл. 9.2.

Таблица 9.2

< td>

1

< td>

195

Y

X

Инструментальная переменная для Х

96

128

91,6398

4,360

< p> 19,01

114

130

2

93,0030

20,997

440,87

110

133

3

95,0478

14,95

223,5

105

142

4

101,1822

3,81

< / TD>

14,51

112

157 < / p>

5

111,4062

0,5938

0,352

109

168

6

118,9000

-9,9

98,01

134

194

7

136,6254

-2,625

6,89

113

8

137,3000

< p> -24,3

590,49

144

< / TD>

205

9

144,1230

-0,123

0,015

150

< / TD>

225

10

157,7550

-7,755

60,14