Дисперсионный анализ эконометрической модели часть 3

Найдем математическое ожидание для обеих частей уравнения (5.19) и применим сначала свойство, которое заключается в том, что, где & mdash; следует матрицы N , а дальше & mdash; свойство коммутативности произведения матриц относительно операций вычисления следа матрицы.

Учитывая сказанное имеем:

(5.20)

В этом соотношении матрица имеет порядок, произведение равно, а ее следует равна. Отсюда

. (5.21)

Соотношение (5.21) дает нам несмещенную оценку дисперсии остатков.

Наконец, осталось показать, что сумма квадратов остатков распределена независимо от . Для этого найдем ковариацию остатков

(5.22)

Поскольку и являются линейные функции от нормально распределенных переменных, то они также распределены нормально и, как было показано их ковариации равны нулю.

Это дает нам возможность воспользоваться t  — Распределение для проверки гипотез относительно существенности каждого из параметров эконометрической модели

Проверку гипотезы выполним согласно t  — критерия

, (5.23)

где & mdash; диагональный элемент матрицы. Знаменатель отношения (5.23) & mdash; называется стандартной ошибкой оценки параметра модели.

Вычисленное значение t  — критерия сравнивается с табличным при выбранном уровне значимости и степени свободы. Если t факт> t табл, то соответственно оценка параметра эконометрической модели является достоверной.

На основе t  — критерия и стандартной ошибки построим доверительные интервалы для параметров:

(5.24)

Пример 5.5. Проверим гипотезы о значимости оценок параметров модели (5.6)

построенной на основе исходных данных, приведенных в табл. 5.1.

Если степень свободы = 10 — 4 = 6 и уровень значимости & # 61537; = 0,05, t табл = 1,945. Поскольку t 1факт> t табл, t 2 факт> t табл, то оценки параметров, характеризующих существенный свя Связь этих независимых переменных (,) с зависимой; t 3 факт < t табл, что подтверждает нулевую гипотезу о несущественности влияния переменной на результативный признак.

Оценка параметра может находиться в следующих пределах:

В соответствии можно найти доверительные интервалы других параметров модели. Когда стандартные ошибки параметров крупнее абсолютные значения оценки этих параметров, то это может означать, что оценка параметра является смещенной. Пусть, например, стандартная ошибка на 10% превышает абсолютное значение оценки параметра, тогда уже можно говорить о том, что этот параметр имеет смещение по его истинного значения.

выводы

1. Учитывая зависимость между оценками параметров модели и коэффициентами парной корреляции можно предложить альтернативную оценку 1МНК на основе пошаговой регрессии.

2. Между оценками параметров модели и коэффициентами парной корреляции существует зависимость, которая пропорциональна отношение среднеквадратических отклонений зависимой и независимой переменных, то есть. Эта зависимость подтверждается и в общем виде. Ее положено в основу алгоритма пошаговой регрессии.

3. Система нормальных уравнений для определения оценок параметров модели 1МНК на основе пошаговой регрессии запишется так:

или в матричном виде:

r = r xy < / I> .

Отсюда оператор оценивания параметров модели:

= r  — 1 r xy

где & mdash; оценки параметров модели в стандартизированном виде.

4. Чтобы построить такую ​​систему нормальных уравнений на основе 1МНК, необходимо стандартизировать (нормализовать) исходные данные так:

При этом средние значения и равны нулю, а дисперсии & mdash; единицы.

5. Связь между оценками параметров модели на основе стандартизированных и нестандартизированных переменных запишется в виде:

6. Теснота зв'зку общего воздействия всех независимых переменных на зависимую определяется коэффициентами детерминации и множественной корреляции. Коэффициент детерминации без учета числа степеней свободы

с учетом числа степеней свободы

.

Альтернативные зависимости для вычисления коэффициента детерминации можно записать:

а)

б)

в)

формулы б) и в) целесообразно применять в том случае, когда для оценки параметров эконометрической модели выполняется 1МНК на основе стандартизированных данных.

7. Коэффициент детерминации показывает, на сколько процентов вариация зависимой переменной определяется вариацией объясняющих (независимых) переменных.

Коэффициент корреляции является инвариантной оценке коэффициента детерминации. Его всегда можно получить как функцию от R 2, то есть

Коэффициент корреляции характеризует тесноту связи между зависимой и пояснительными переменными.

8. Значение коэффициента детерминации и корреляции для многофакторной зависимости принадлежат множеству

R 2 & # 61646; & # 61533; 0, 1 & # 61531; ;

R & # +61646; & # 61533; 0, 1 & # 61531; .

Чем ближе эти значения к 1, тем существеннее связь между переменными эконометрической модели. Итак, коэффициенты детерминации и корреляции можно рассматривать как характеристики дисперсионного анализа, характеризующие вероятность эконометрической модели.

9. Поскольку коэффициенты детерминации и корреляции является выборочным характеристикам, то их числовые значения также проверяются на значимость согласно статистическим гипотезами. При этом t  — критерий для проверки значимости коэффициента корреляции вычисляется так:

Если значение этого критерия не менее критическое (табличное) при выбранном уровне доверия и степени свободы n < / I> — m , то соответствующий коэффициент корреляции (детерминации) является достоверным.

10. Гипотеза о существенности связи между зависимой и независимой переменными может быть проверена с помощью F  — критерия

или в матричном виде:

Альтернативная формула для его вычисления такова:

.

Фактическое значение F  — критерия сравнивается с табличным при степенях свободы n — m и m — 1 и выбранном уровне доверия . Если F факт & # 61619; F табл, то гипотеза о существенности связи между зависимой и пояснительными переменными подтверждается, в противном случае & mdash; отклоняется.

11. Частные коэффициенты корреляции, так же как и парные, характеризуют тесноту связи при условии, что другие независимые переменные стали. Величину их можно определить с помощью алгебраических дополнений к элементам матрицы r (парных коэффициентов корреляции)

где R kj & mdash; алгебраическое дополнение к элементу матрицы r kj ; R kk , R jj & mdash; алгебраические дополнения в соответствующие диагональных элементов.

12. Проверку гипотезы о значимости параметров эконометрической модели можно выполнить согласно t  — критерия

или

где & mdash; стандартная ошибка оценок параметров модели.

Вычисленное значение t  — критерия сравнивается с табличным для выбранного уровня доверия и n — m степеней свободы. Если t факт & # 61619; t табл, то соответствующий параметр эконометрической модели является вероятным.

13. На основе t  — критерия и стандартной ошибки строятся предельные доверительные интервалы для оценок параметров модели:

ЛИТЕРАТУРА

  1. < p> Джонстон Дж. эконометрические методы. & mdash; М., 1980.

  2. Дрейлер Н., Смит Г. Прикладной регрессионный анализ. & mdash; М .: Финансы и статистика, 1986.

  3. Кейн Э. Экономическая статистика и эконометрия. & mdash; М .: 1977. — Вып.12.

  4. Класc А., Гергель К., Колек Ю., Шуян И. Введение в эконометрической моделирование. — М., 1975.

  5. Крамер Г. Математические методы статистики. & mdash; М., 1975.

  6. Ланге О. Введение в эконометрику. — М., 1964.

  7. Лизер С. эконометрические методы и задачи. — М., 1971.

  8. Линник Ю. В. Метод наименьших квадратов и основы математико статистической обработки наблюдений. & mdash; М., 1962.

  9. Маленво Э. Статистические методы в эконометриы. & mdash; М., 1975 — 1 976. Вып. 1,2.

  10. Мальцев А. Н. Основы линейной алгебры. — М., 1975.

  11. Пирогов Г., Федоровский Ю. Проблемы структурного оценивания в эконометриы. — М., 1979.

  12. Ты н тнер Г. Введение в эконометрию. — М., 1964.

  13. Фишер Ф. Проблема идентификации в эконометриы. & mdash; М., 1978.

  14. Чупров А. А. Основные проблемы теории корреляции. & mdash; М., 1960. второй изд.

  15. Klein L. R., Goldberger A. S. An Ekonometric Model of United States, 1929 — 1952 North Holland, Amsterdam, 1964

* Заметим, что, то есть средние значения зависимой переменной, вычисленной по модели, и фактической совпадают.