Автокорреляция часть 2

10. Определяем оценку параметров модели, воспользовавшись обратной матрицей S 1, которая имеет вид:

.

Подставив & # 61554; = 0,77, получим:

Вектор оценок параметров модели:

.

Итак, и эконометрическая модель представляется в виде

(2)

Сравнив обе эконометрические модели (1) и (2), увидим, что при оценке параметров методом Эйткена целесообразнее пользоваться матрицей, когда ковариация остатков для отсутствует. В таком случае построение модели упрощается, а точность оценок не уменьшается.

Метод преобразования исходной информации

Случай, когда остатки удовлетворяют авторегрессионную модель первого порядка, допускает альтернативный подход к поиску оценок параметров модели с помощью двухшаговая процедуры:

1) преобразование исходной информации при применении для этого параметра & # +61554; ;

2) применение 1МНК для оценки параметров на основе преобразованных данных.

Для этого надо найти матрицу преобразования T , чтобы модель

(8.23)

имела скалярную дисперсионную матрицу

< p> Рассмотрим матрицу T 1 размером n & # 61620; n

(8.24)

Непосредственным умножением легко убедиться, что

А это значит, что можно применить 1МНК к преобразованных данных и, которые имеют вид

Иногда для преобразования исходной информации используется матрица размером ( n — 1) & # 61620; n , которая получается из матрицы в результате вычеркивания первой строки

Нетрудно показать, что применение 1МНК к данным и дает такую ​​же оценку параметров модели, как и метод Эйткена, а для данных и & mdash; обеспечивает сравнительно хорошую аппроксимацию.

В общем случае, когда у нас нет информации ни о порядке авторегрессионной модели, ни о значении параметров в ней, а из-за этого не можем применить ни метод Эйткена, ни метод преобразования исходной информации, в эконометрической литературе предлагаются приближенные методы Кочрена & mdash; Оркатта и Дарбина.

Пример 8.3. Согласно данным, которые приведены в табл. 8.1 (пример 8.2), необходимо оценить параметры эконометрической модели, которая должна автокорельованимы остатки, методом преобразования исходной информации.

розьязання.

1. Сформируем матрицу T 1 для преобразования исходных данных

.

2. Превратим переменные Y t , X t на основе матрицы T 1

3. Для преобразованных данных воспользуемся оператором 1МНК:

.

Обозначим,. тогда имеем

3.1.

3.2.

3.3.

3.4.

Отсюда эконометрическая модель:

(3)

Оценки параметров модели, которые определены в соответствии с методом преобразования исходной информации, не отличаются от оценок, полученных методом Эйткена при различных матрицах ковариаций остатков. Это означает, что оба метода являются альтернативными, когда остатки & mdash; стационарные марковские процессы.

Несколько отличаются друг от друга оценки параметров модели, если для перетворенння исходных данных используется матрица Т 2. Так, вектор оценок

Отсюда эконометрическая модель:

(4)

Метод Кочрена & mdash; Оркатта

Пусть задано эконометрическую модель

(8.25)

Превратив исходную информацию с помощью, получим:

(8.26 )

В этой модели остатки имеют скалярную дисперсионную матрицу.

Сумма квадратов остатков на основе (8.26) будет определяться соотношением

(8.27)

Непосредственная минимизация функции (8.27) приводит к системе нелинейных уравнений, поэтому аналитическое выражение оценок параметров, и достать трудно.

Метод приближенного поиска параметров, и, которые минимизируют сумму квадратов (8.27), дает итеративный метод, предложенный Кочрена и Оркатта и назван в их честь.

Опишем его алгоритм.

Шаг 1. Произвольно выбирают значение параметра, например Подставив его в (8.27), вычисляют и.

Шаг 2. Положив и, подставим их в (8.27) и вычислим

Шаг 3 . Подставив в соотношение (8.27) значения, найдем и.

Шаг 4. Используем и для минимизации суммы квадратов остатков (8.27) по неизвестным параметром. Процедура продолжается до тех пор, пока следующие значения параметров, и не будут отличаться менее чем на заданную величину.

Этот итеративный метод, как и другие подобные процедуры, имеет две проблемы:

а) сходимости;

б) характера найденного минимума & mdash; локальный или глобальный.

Проведенные исследования по этим двум проблемами показали, что в результате применения метода Кочрена & mdash; Оркатта всегда находим глобальный оптимум и алгоритм обеспечивает сравнительно хорошую сходимость.

Часто предлагается альтернативный подход к использованию этого итеративного метода.

В отличие от предыдущего, в нем дальнейшие итерации прекращаются тогда, когда на основе критерия Дарбина & mdash; Уотсона делается вывод об отсутствии автокорреляции остатков.

Рассмотрим алгоритм

Шаг 1. Принимается гипотеза и минимизируется на основе 1МНК сумма квадратов: . Итак, так же и дальше исчисляются параметры модели (8.25).

Шаг 2. Находятся остатки на основе критерия Дарбина & mdash; Уотсона проверяется нулевая гипотеза относительно автокорреляции остатков. Если гипотеза отклоняется, то переходят к шагу 3.

Шаг 3 . На данном этапе минимизируется сумма квадратов отклонений:

где и & mdash; оценки параметров, найденные на первом шаге 1МНК. В результате параметр определяется как коэффициент регрессии остатков, найденных 1МНК, на их лаговые переменные, которые касаются прошлого периода.

Шаг 4 . Используя значение оценки параметра, определяют оценки параметров и на основе 1МНК, который применяется к преобразованных данных и.

Шаг 5 . Определяются остатки проверяются на наличие автокорреляции. Если гипотеза о наличии автокорреляции отклоняется, то итеративный процесс прекращается. В противном случае переходим к шагу 3, где используются найдены оценки параметров и.

Когда итеративный процесс прекращается, то выполняется проверка значимости параметров с помощью последней эконометрической модели. В таком случае обычные формулы дадут обоснованные оценки дисперсий остатков.

Метод Дарбина

Дарбин предложил простую двухшаговая процедуру, которая также дает оценки параметров, они асимптотически имеют тот же вектор средних и ту же матрицу дисперсий, что и оценки метода наименьших квадратов.

Шаг 1 . Подставим значения остатков, которое подчинено авторегрессионные модели первого порядка к эконометрической модели. Тогда получим, где.

Отсюда

где имеет скалярную матрицу дисперсий.

Согласно 1МНК определяются параметры этой модели, куда входит и коэффициент. В результате вычислений имеем.

Шаг 2 . Значение используется для преобразования переменных и, а 1МНК применяется к преобразованных данных. Коэффициент при является оценкой параметра, а свободный член, разделенный на, оценивает параметр.

Метод Дарбина очень просто распространяется на случай нескольких независимых переменных и для автокорреляции высших порядков.

Пусть задано модель

(8.28)

где.

Подставив значения в (8.28), получим:

Применив 1МНК, вычислим параметры этой модели. Коэффициенты и используем для преобразования данных

Опять применим 1МНК для этих преобразованных данных и найдем оценки параметров модели,

Описанный только итеративный метод Кочрена & mdash; Оркатта и рассмотрена двухшаговая процедура Дарбина при наличии автокорреляции остатков асимптотически ефективиший, чем 1МНК.

Но при этом возникают два важных вопроса:

1) Будут ли эти методы эффективны, чем 1МНК для малых выборочных совокупностей?

2) которой & mdash; одинаковой или разной & mdash; будет эффективность применения методов Кочрена & mdash; Оркатта и Дарбина для малых выборок?

Числовой анализ, выполненный Грилихесом и Рао [1] с помощью метода Монте-Карло, дал ответ на эти вопросы.

Вывод 1. 1МНК дает менее эффективные оценки по сравнению с другими методами, если совокупность наблюдений n = 20 единиц, а > 0,3.

Вывод 2. Если < 0,3, то снижение эффективности оценок 1МНК сравнению со сложными процедурами невелико.

Вывод 3. Метод Дарбина обеспечивает лучшую оценку для широкого круга параметров по сравнению с другими методами.

Вывод 4. Нелинейный метод оценки параметров не дает ощутимых преимуществ по сравнению с двухшаговая процедурой Дарбина.

Теоретические исследования прогноза в случае нарушения условия (4.3) были рассмотрены в разд. 7.