Автокорреляция часть 4

Пусть имеем модель: где и построенная для n наблюдений.

Используем эту модель для определения прогноза зависимой переменной для периода n + 1 когда для этого периода задано независимую переменную . Формула дает лучший смещена прогноз

где & mdash; оценка параметров модели по методу Эйткена

и

Если остатки описываются авторегрессионной моделью первого порядка, то с учетом равенства можно записать:

Итак, вектор W можно получить, умножив на последний столбец матрицы V . Но поскольку, то произведение представляет собой последнюю строчку матрицы E , умноженный на.

Отсюда.

Формула прогноза имеет вид

(8.29)

Пример 8.4. Используя эконометрическую модель, построенная на основании данных о розничном товарообороте и доход (пример 8.2), определить прогнозный уровень товарооборота, когда доход составит x n 1 = 55

Решение.

1. Запишем соотношение, которое будет определять прогнозный уровень зависимой переменной

= x n + 1 + & # 61 554; e n

где x n + 1 & mdash ; оценка прогнозной величины; & # 61 554; e n & mdash; остатки прогноза.

2. Воспользуемся эконометрической модели розничного товарооборота (пример 8.2, формула 1) для вычисления прогноза:

= 0,442 + 0,861 x n + 1 = 0,442 + 0,861 55 = 0,442 + 47,35 = 47,8 ;

3. Найдем оценку остатков прогноза & # 61 554; e n , где & # 61 554; & mdash; коэффициент ковариации остатков; e n & mdash; остатки по модели для t = 10

e n = 0,18;

& # 61554; e n = 0,77 & bull; 0,18 & # 61627; 0,14 .

4. Определим прогнозный уровень розничного товарооборота на одиннадцатый год ( n + 1)

= 47,8 + 0,14 = 47,94.

выводы

1. Часто при построении эконометрической модели сталкиваются с нарушением второй необходимого условия для применения 1МНК, когда где матрица S ( n & # 61620; n ) характеризует ковариации между остатками, а дисперсия остается постоянной. Это явление наблюдается прежде всего тогда, когда эконометрическая модель строится на основе временных рядов и называется автокорреляцией остатков.

2. Возникновение автокорреляции остатков связано вот с чем:

1) автокорреляцией последовательных элементов векторов зависимой и независимых переменных

2) автокорреляцией последовательных значений переменной (сменных), которые не вошли в эконометрической модели;

3) ошибочной спецификации эконометрической модели.

3. Поскольку ковариация последовательных значений остатков подается в виде

то вторая из необходимых условий записывается так:

где S & mdash; матрица коэффициентов ковариаций s го порядка для элементов ряда u t или где.

4. При наличии автокорреляции остатков оценивания параметров модели 1МНК может иметь следующие результаты:

1) оценки параметров модели будут смещенными;

2) статистические критерии Стьюдента ( t  — критерий) и Фишера ( F  — критерий) не могут быть использованы в дисперсионном анализе эконометрической модели;

3) неэффективность оценок параметров эконометрической модели приводит к неэффективным прогнозов.

5. Наличие автокорреляции проверяется по следующим критериям:

1) Дарбина & mdash; Уотсона & mdash; DW (d)

2) фон Неймана & mdash; Q ;

r * ;

4) циклического коэффициента автокорреляции r .

6. Для оценки параметров модели с автокорельованимы остатками можно применить следующие методы:

1) Эйткена;

2) преобразование исходной информации;

3) Кочрена & mdash; Оркатта;

4) Дарбина.

Первые два метода используются тогда, когда остатки удовлетворяют авторегрессионную модель первого порядка, третий и четвертый можно применить и тогда, когда остатки описываются авторегрессионной моделью высшего порядка.

7. Метод Эйткена базируется на скорректированной исходной информации с учетом ковариации остатков. Система уравнений для оценки параметров модели запишется так:

или

.

Отсюда оператор оценивания по методу Эйткена выглядит

или

Матрица S в этом операторе

Поскольку ковариация остатков & # 61554; s при s> 2 часто приближается к нулю, то матрицу, обратную к S , иногда целесообразно подавать в виде

.

8. Метод преобразования исходной информации дает альтернативный подход к поиску оценок параметров модели с помощью двухшаговая процедуры:

1) преобразование исходной информации с помощью параметра & # 61554; ;

2) применение 1МНК для оценок параметров согласно превращенными данными.

Доказано, что, так преобразования исходной информации выполняется с помощью матрицы

.

размером n n.

Иногда для преобразования исходной информации используется матрица T 2 размером ( n  — 1) & # 61620; n , которая образуется из матрицы T 1 вычеркиванием первой строки

9. Метод Кочрена & mdash; Оркатта является итеративным методом оценки параметров эконометрической модели, когда минимизируется сумма квадратов остатков, которая для модели

определяется так:

Для минимизации этой функции используется приведенный далее алгоритм.

Шаг 1. Произвольно выбираем параметр & # 61554; , Например & # 61554; = r 1, и подставляем в соотношение, которое определяет сумму квадратов остатков, а на основе 1МНК находим параметры и.

Шаг 2. Взяв и, подставим их в соотношение, которое определяет сумму квадратов остатков, и вычислим & # 61 554; = r 2.

Шаг 3. Подставив & # 61 554; = r 2, найдем оценки параметров и.

Шаг 4. Используем и для минимизации суммы квадратов остатков по неизвестным параметром & # 61554; = r 3 и т. д. Процедура продолжается до тех пор, пока следующие значения параметров, и & # +61554; практически не будут отличаться от предыдущих или отличаться на заданную величину.

10. Метод Дарбина также итеративным методом, который состоит из двухшаговая процедуры. На первом этапе определяются 1МНК оценки параметров модели

где u t = & # +61554; u t — 1 + & # 61541; t , или u t = & # 61 554; 1 u t — 1 + & # 61 554; 2 u t — 2 + & # +61541; t и т. д.

На втором шаге 1МНК применяется для преобразованных данных с помощью параметра & # 61 554; , Который определен на первом шаге, то есть переменные примут вид ( y t  — & # 61554; y t — 1), ( x tj  — & # 61554; x tj — 1).

Коэффициент при x tj  — & # 61554; x tj — 1 является оценкой параметра a j , а свободный член, разделенный на & # 61 554; , & Mdash; оценкой параметра a 0

11. Оценку прогнозного уровня зависимой переменной можно получить, воспользовавшись соотношением:

где & mdash; вектор оценок параметров модели с автокорельованимы остатками e = Y — X . Поскольку, то формула лучшего смещена прогноза запишется в виде:

ЛИТЕРАТУРА

  1. Джонстон Дж. эконометрические методы. & mdash; М., 1980.

  2. Дрейлер Н., Смит Г. Прикладной регрессионный анализ. & mdash; М .: Финансы и статистика, 1986.

  3. Кейн Э. Экономическая статистика и эконометрия. & mdash; М .: 1977. — Вып.12.

  4. Класc А., Гергель К., Колек Ю., Шуян И. Введение в эконометрической моделирование. — М., 1975.

  5. Крамер Г. Математические методы статистики. & mdash; М., 1975.

  6. Ланге О. Введение в эконометрику. — М., 1964.

  7. Лизер С. эконометрические методы и задачи. — М., 1971.

  8. Линник Ю. В. Метод наименьших квадратов и основы математико статистической обработки наблюдений. & mdash; М., 1962.

  9. Маленво Э. Статистические методы в эконометриы. & mdash; М., 1975 — 1 976. Вып. 1,2.

  10. Мальцев А. Н. Основы линейной алгебры. — М., 1975.

  11. Пирогов Г., Федоровский Ю. Проблемы структурного оценивания в эконометриы. — М., 1979.

  12. Ты н тнер Г. Введение в эконометрию. — М., 1964.

  13. Фишер Ф. Проблема идентификации в эконометриы. & mdash; М., 1978.

  14. Чупров А. А. Основные проблемы теории корреляции. & mdash; М., 1960. второй изд.

  15. Klein L. R., Goldberger A. S. An Ekonometric Model of United States, 1929 — 1952 North Holland, Amsterdam, 1964.