Автокорреляция часть 5

1) 0 & # 61603; DW & # 61603; 0,77 & mdash; нулевая гипотеза отклоняется как при 1% — ном, так и на 5% — ном уровне значимости;

2) 0,77 & # 61603; DW & # 61603; 1,00 & mdash; нулевая гипотеза отклоняется при 5% — ном уровне значимости; для 1% — го уровня значимости определенных выводов сделать нельзя;

3) 1,00 & # 61603; DW & # 61603; 1,41 & mdash; критерий не дает определенных результатов как при одном, так и при другом уровне значимости;

4) 1,41 & # 61603; DW & # 61603; 1,68 & mdash; нулевая гипотеза не отклоняется при 1% — ном уровне значимости, для 5% — го уровня значимости определенных выводов сделать нельзя;

5) 1,68 & # 61603; DW & # 61603; 2,00 & mdash; нулевая гипотеза не отклоняется при обоих уровнях значимости.

Дж. Джонстон [3] приводит ряд наблюдений, свидетельствующих о том, что верхняя граница DW 2 ближе к истинной границы принятия гипотезы, проверяется. поэтому если возникают сомнения, можно ограничиться одним показателем & mdash; DW 2. Это означает, что сам критерий также может иметь смещение, он указывает на наличие серийной корреляции первого порядка и там, где ее не должно быть. Дж. Джонстон замечает, что поскольку следствие некорректного принятия нулевой гипотезы может быть гораздо серьезнее, чем следствие ее некорректного отклонения, поэтому в сомнительных случаях нулевую гипотезу, как правило, лучше отклонить. Если оценка критерия DW превышает 2, то при проверке нулевой гипотезы можно как альтернативную использовать гипотезу о существовании отрицательной автокорреляции первого порядка; в таком случае необходимо вычесть соответствующие значения от 4 и воспользоваться теми же табличными значениями DW .

Критерий фон Неймана

Для выявления автокорреляции остатков используется также критерий фон Неймана:

(8.13)

Отсюда. При. Фактическое значение критерия фон Неймана сравнивается с табличным для выбранного уровня значимости и заданного числа наблюдений. Если, то существует положительная автокорреляция.

нецикличные коэффициент автокорреляции

Этот коэффициент выражает степень взаимосвязи остатков каждого следующего значения с предыдущим, а именно:

I ряд & mdash; ;

II ряд & mdash; .

Он вычисляется по формуле:

(8.14)

Коэффициент может принимать значения в интервале (-1; 1). Отрицательные значения его свидетельствуют о отрицательную автокорреляции, положительные & mdash; о положительную. Значения, содержащиеся в некоторой критической области около нуля, свидетельствуют об отсутствии автокорреляции, то есть утверждают нулевую гипотезу об отсутствии автокорреляции остатков. Поскольку вероятностное распределение установить трудно, то на практике вместо вычисляют циклический коэффициент автокорреляции.

Циклический коэффициент автокорреляции

Он выражает степень взаимосвязи рядов

I ряд & mdash; ,;

II ряд & mdash; ,.

Циклический коэффициент вычисляется по формуле:

(8.15)

Для достаточно длинных рядов влияние циклических членов на величину коэффициента незначительный, поэтому можно считать, что вероятностное распределение приближается к распределению. Если последний член ряда равен первому, то есть u 1 = u n , то нециклические коэффициент автокорреляции равен циклическом. Очевидно, что когда остатки не содержат тренда, то предположение о равенстве u 1 = u n недалеко от реальности и циклический коэффициент автокорреляции приближается к нециклического.

Фактически вычислено значение циклического коэффициента автокорреляции сравнивается с табличным для выбранного уровня значимости и длины ряда n . Если, то существует автокорреляция. Предполагая, что циклический коэффициент автокорреляции можно записать в виде

(8.16)

На практике часто вместо (8.16) вычисляют

(8.17)

Оценка параметров модели с автокорельованимы залы шками

8.3.1. Метод Эйткена

Пусть в эконометрической модели

y t = a 0 + a 1 x t + u t

u t = u t + & # 61541; t

где & # 61541; t & mdash; нормально распределенные случайные остатки. Тогда, чтобы устранить автокорреляции остатков u t , надо превратить основную модель так, чтобы она имела остатки & # шестьдесят одна тысяча пятьсот сорок один; t . Поскольку & # шестьдесят одна тысяча пятьсот сорок одна; t = u t  — & # 61 554; u t — 1, то для такого преобразования надо записать модель для предыдущего периода

y t — < / I> 1 = a 0 + a 1 x t — 1 + u t — 1

умножить левую и правую часть ее на и вычесть из модели для периода t .

В результате получим такую ​​эконометрическую модель

y t  — y < / I> t -1 = a 0 (1 -) + a 1 ( x < / I> t  — x t — 1) + ( u t  — u t — 1)

Отсюда очевидно, что когда исходные данные преобразованы, а именно y t  — y t 1, x t  —  — x t  — 1, то для оценки параметров можно применить 1МНК. Причем для преобразования можно использовать первые разницы y t  — y t — 1 и x t  — x t — 1, когда приближается к единице. Если близко к нулю, то подтверждается обратное утверждение. Заметим, что когда = 1, в превращенной модели отсутствует свободный член (как исключение может быть ситуация, когда исходная модель содержит линейный временной тренд). Если остатки исходной модели характеризовались положительной автокорреляцией, использование первых разниц вызывается к отрицательной автокорреляции.

Параметр & # 61554; приближенно можно найти на основе остатков, если вычислить циклический коэффициент корреляции r . На практике, как правило, & # 61554; & # +61627; r , но r корректируется на величину смещения.

Все эти соображения положены в основу методов оценки параметров эконометрической модели с автокорельованимы остатками.

Для оценки параметров эконометрической модели, имеющей автокорреляции остатков, можно применить обобщенный метод наименьших квадратов (метод Эйткена), основанный на скорректированной исходной информации с учетом ковариации остатков.

В разд. 7 были рассмотрены метод Эйткена и доказано, что система уравнений для оценки параметров модели на основе метода Эйткена запишется так:

(8.18)

или

(8.19)

& mdash; вектор оценок параметров эконометрической модели;

& mdash; матрица независимых переменных

& mdash; матрица, транспонированная к матрице X ;

& mdash; матрица, обратная к матрице корреляции остатков;

& mdash; матрица, обратная к матрице V , где, а & mdash; остаточная дисперсия;

Y & mdash; вектор зависимых переменных.

Отсюда

или

Итак, чтобы оценить параметры модели на основе метода Эйткена, надо сформировать матрицу S или V .

Матрица S имеет вид

(8.21)

В этой симметричной матрицы выражает коэффициент автокорреляции s го порядка для остатков. Очевидно, что коэффициент автокорреляции нулевого порядка равен 1.

Поскольку ковариация остатков при s > 2 часто приближается к нулю, то матрица, обратная к матрице S , будет выглядеть так:

(8.22)

Такую матрицу иногда предлагается использовать при оценке параметров модели с автокорельованимы остатками по методу Эйткена.

Покажем, как используется циклический коэффициент корреляции для вычисления & # 61 554; .

или

где u t & mdash; величина остатков в период t ; u t — 1 & mdash; величина остатков в период t  — 1; n & mdash; число наблюдений.

Если, то.

Заметим, что параметр r (или) имеет смещения. Поэтому, используя такой параметр для формирования матрицы S , необходимо скорректировать его на величину смещения

где & mdash; величина смещения ( m & mdash; количество независимых переменных), или

Матрица, где & mdash; остаточная дисперсия, определяемая по формуле

где & mdash; вектор, транспонированные вектору остатков u ; n — m — 1 & mdash; число степеней свободы.

дисперсия остатков с учетом смещения вычисляется так:

Величину & ​​# 61548; можно вычислить методом 1МНК с помощью авторегрессионного уравнения x t = & # 61548; x t — 1 + & # 61541; t . В таком случае

где x t взято как отклонение от своего среднего значения.

При реализации алгоритма Эйткена для оценки параметров модели применяют такие пять шагов.

Шаг 1 . Оценка параметров модели по методу 1МНК.

Шаг 2 . Исследование остатков на наличие автокорреляции.

Шаг 3 . Формирование матрицы ковариации остатков V или S .

Шаг 4 . Обращение матрицы V или S .

Шаг 5 . Оценка параметров методом Эйткена, то есть в соответствии с (8.18), (8.19).