Экономико-математическое моделирование экономических объектов

Реферат на тему:
Экономико-математическое моделирование экономических объектов
Пусть закон распределения вероятностей числа появления событий процесса в интервале задается формулой
а закон распределения вероятностей появления событий процесса в том же интервале формуле
Тогда, применив формулу Байеса, можно получить следующее соотношение
Сделав замену
получим формулу
.
Из этой формулы следует алгоритм моделирования траектории процесса и построение по ней несмещенных статистических оценок для начального процесса.
Рассмотрим случайный процесс в интервале.
iqoption-com.eu

На первом этапе моделируется дискретная случайная величина числа событий процесса согласно закону распределения вероятностей (таблица 1):
Таблица 1.
Закон распределения вероятностей
...
...
.
Предположим, что в результате моделирования приняла значение.
На втором шаге, используя свойство пуассоновского процесса о равномерности распределения в интервале моментов появления событий при условии, что они туда попали, моделируем эти моменты
согласно функции распределения
.
Моменты появления событий — независимые и одинаково распределенные случайные величины. В результате моделирования получаем одну из траекторий, и за ней находим функционал
Если вычислить статистическую оценку
то она будет смещенной. Для того, чтобы исправить ее в направлении несмещенности, необходимо на третьем шаге вычислить коэффициент:
.
В — и траектории коэффициент будет иметь вид
где — значение случайной величины в — й траектории. будем называть — й траектории.
В результате таких рассуждений окончательно получим формулу для расчета несмещенной оценки:
.
Рассмотрим следующий пример. Пусть на линии работает пять пассажирских самолетов. При выходе самолета из строя он начинает немедленно ремонтироваться в течение случайного времени согласно функции распределения
.
Время безотказной работы самолета является случайной величиной с функцией распределения
.
Нужно найти вероятность того, что за время эксплуатации самолетов в ремонте будет находиться одновременно хотя бы три из них.
Указанная вероятность есть малой величиной, если среднее число отказов мало, а интенсивность восстановления большая (быстрое восстановление). За модель функционирования самолетов возьмем кусочно-линейный процесс
,
где описывает работу го самолета
.
Дискретная компонента определяется соотношением
а непрерывная компонента соответствует времени пребывания процесса в исправном состоянии согласно функции распределения
и времени пребывания в состоянии ремонта согласно функции распределения
.
Обозначим через число отказов самолетов в интервале. Тогда есть пуассоновским процессом, моменты скачков которого совпадают с моментами скачков процесса «вверх». На рис. 1 изображены, соответственно, траектория процесса и траектория процесса, а вектор имеет вид:
.
Случайный процесс называется «вложенным» пуассоновским процессом в процесс,.
Интенсивность появления случайного события процесса задается, которая по условию задачи является малой величиной. Согласно приведенному выше метода рассмотрим вспомогательнуюи пуассоновский процесс с интенсивностью, и смоделируем дискретную случайную величину согласно закону распределения вероятностей (таблица 2):
Таблица 2.
Закон распределения вероятностей
0 1 2.
.
где
.
Предположим, что в результате эксперимента приняла значение 6. Это означает, что в интервале появилось ровно 6 отказов самолетов.
На траектории процесса, строим траекторию кусочно-линейного процесса таким образом, чтобы процесс был вложенным пуассоновским процессом в процесс. На рис. 2 и рис. 3 моментами
обозначены моменты возникновения отказов самолетов, а моментами
моменты окончания их ремонта. Моменты возникновения отказов самолетов являются независимыми случайными величинами, равномерно распределенными в интервале
а моменты окончания их ремонта определяются как значения случайных величин с функциями распределения.
Для их вычисления необходимо сначала определить номера самолетов, отказали в эти моменты. В момент может отказать любой из пяти самолетов согласно закону распределения вероятностей (таблица 3):
Таблица 3.
Закон распределения вероятностей
1 2 3 4 мая
где < br /> (по условию задачи все совпадают с). Пусть приняла значение 3. Это означает, что в момент вышел из строя третий самолет, после чего он начал сразу же ремонтироваться в течение времени, равный значению случайной величины с функцией распределения
.
В следующий момент номер самолета, который вышел из строя, определяется согласно закону распределения вероятностей (таблица 4):
Таблица 4.
Закон распределения вероятностей
1 2 3 4 5
где
(не фигурирует в приведенных вероятностях, поскольку в момент третий самолет находился в ремонте). Пусть. Тогда продолжительность ремонта первого самолета реализуется по формуле
.
Аналогично предыдущему шагу, в момент согласно закону распределения вероятностей (таблица 5):
Таблица 5.
Закон распределения вероятностей
2 Апреля 5
находится номер самолета, который вышел из строя, и длительность его ремонта, и так далее в течение времени. В результате получим траекторию и функционал. Он равен 1, поскольку выполняется условие (см. Рис. 3)
,
где — множество особых состояний, включая все векторы
,
для которых справедливо соотношение
.
Для того, чтобы получить несмещенную статистическую оценку вероятности события, заданной формуле, можно воспользоваться соотношением
,
где — функционал, найден в — й траектории,. Однако для вероятности, что нас интересует, и которая фигурирует в условии задачи, эта оценка будет завышенной. Несмещенная оценка для этого случая определяется соотношением
(для полученной траектории (см. Рис. 3) находится по формуле).
Предположим, что наряду с вероятностью, что фигурирует в условии задачи, необходимо найти прибыль за перевозку пассажиров. Причем прибыль за единицу времени, приходящейся на один самолет, равна условных единиц. Тогда для траектории (см. Рис. 3) прибыль можно представить как сумму доходов на отдельных интервалах непрерывности, а именно:
,
где
Если обозначить прибыль, полученная для — й траектории, то несмещенная оценка прибыли вычисляется по формуле
,
где, определяются приведенным выше соотношением.
Список литературы
1. Кривуца В. Г., Довгий С. А., Олешко Т. И. Теория вероятностей. — М .: ИМЗН, 1997.
2. Кривуца В. Г., Довгий С. А. Экономико-математическое моделирование. — М .: НАУ — с.200.