Элементы матричных преобразований

Рассмотрим подробнее эти характеристики.

Для определения ранга матрицы введем понятие линейной комбинации векторов и их линейной зависимости (независимости). Для n векторов линейная комбинация векторов определяется как, где & mdash; действительные числа.

Определение 3.13. Если вектор А подается в виде

A = (3.12)

где & mdash; векторы одного и того же пространства, то говорят, что вектор А является линейной комбинацией векторов . Числа называются коэффициентами линейной комбинации.

Определение 3.14. Векторы n-мерного пространства называются линейно независимыми, если

< b> = 0 (ноль-вектор), ( 3.13)

когда

= 0

есть в случае линейной независимости векторов нулевой вектор 0 (0,0, .0) имеет вид тривиальной линейной < / I> комбинации векторов .

Определение 3.15. Векторы линейно зависимы, если существует хотя бы одно в линейной комбинации (3.13) нулевого вектора.

Иными словами, в случае линейной зависимости векторов нуль-вектор нельзя представить в виде тривиальной линейной комбинации векторов, то есть

< p> когда хотя бы для одного и .

Определение 3.16. Максимальное количество линейно независимых векторов-столбцов ( строк ) матрицы А называется рангом столбцов (строк) этой матрицы.

Когда ранг столбцов совпадает с рангом строк матрицы А , то можно говорить просто о ранге матрицы А .


сервис обмена электронных валют

Понятно, что

rg A min (m, n)

где m & mdash; количество строк матрицы А ; n & mdash; количество ее столбцов.

Говорят, что матрица А имеет полный ранг, когда

rg A = min (m, n) .

Определение 3.17. Квадратная матрица полного (неполного) ранга называется соответственно невырожденной (вырожденной) или регулярной (сингулярной) матрицей.

Примером невырожденной матрицы является единичная матрица ( n го порядка), ранг которой равен n , то есть

rg = n .

Для ранга выполняются следующие соотношения:

а) rgA = rg ;

б) rg A = rgA ;

в) rgAB min ( rgA, rgB ).

Определение 3.18 . Вслед матрицы А порядка n является сумма элементов ее главной диагонали, то есть < / p>

tr A = .

Для следа выполняются следующие соотношения:

а)

б) где А и В < / I> & mdash; квадратные матрицы одного и того же порядка; и & mdash; действительные числа;

в) tr (AB) = tr (BA) .

Если А & mdash; симметричная матрица, то

г)

д)

Определение 3.19. детерминанты (определителем) квадратной матрицы А порядка n называется алгебраическая сумма n членов, каждый из которых содержит n сомножителей, взятых по одному из каждой строки (столбца) матрицы.

Сказывается

det A или (3.14)

Свойства определителей.

1. При транспонировании матрицы ее определитель не меняется, то есть

2. Если все элементы строки (столбца) матрицы равны нулю, то ее определитель также равна нулю.

3. При перестановке двух любых столбцов (строк) определителя его знак меняется на противоположный, а абсолютная величина не меняется.

4. Определитель с двумя одинаковыми столбцами (строками) равна нулю.

5. При умножении какого-либо столбца (строки) на произвольное число значение определителя умножается на это же число.

6. Общий множитель всех элементов стовця (строки) можно вынести за знак определителя.

7. Если два столбца (строки) определителя пропорциональны, то определитель равен нулю.

8. Определитель не изменится, если к любому столбца (строки) добавить элементы второго столбца (строки), предварительно умножив их на отличный от нуля множитель.

Рассмотрим определитель матрицы n го порядка

(3.15)

Вычеркнем в нем i  — ю строчку и j й столбец, на пересечении которых находится элемент a ij . В результате останется определитель матрицы ( n  — 1) — го порядка

. (3.16)

Определение 3.20. Определитель матрицы ( n — 1 ) < / B> го порядка, в которой вычеркнуты и-ю строчку и j-й столбец, называется минором элемента a ij и обозначается .

Минор, который берется со знаком ( — 1) i + j ( и & mdash; номер строки; j & mdash; номер столбца элемента a ij ), является алгебраическим < / I> дополнением этого элемента, то есть

Определитель равен сумме попарных произведений элементов любого его столбца (строки) на соответствующие их алгебраические дополнения:

(3.17)

Это свойство позволяет разложить определитель по элементам столбца (строки). Пусть нужно найти определитель. Разложим его по элементам второй строки:

Заметим, что детерминант второго порядка вычисляют вычитанием произведения элементов побочной от произведения элементов главной диагонали:

Вычислить детерминант матрицы А размером 3 марта можно согласно свойством (18) или по правилу Сарруса (Sarrus)

+ + +  — — —

 — — — + + +

Определим по правилу Сарруса

Правило Сарруса часто называют правилом треугольника. Далее постепенно проиллюстрируем вычисления всех членов определителя.

Члены со знаком «плюс»:

Члены со знаком «минус»:

Пользуясь понятием детерминанта, дадим другое определение ранга матрицы.

Определение 3.21. Рангом матрицы А называется наивысший порядок отличного от нуля минора этой матрицы.

Если rg A = r , то это означает, что среди миноров матрицы есть, в конце концов, хотя бы один минор r го порядка, отличный от нуля, тогда как все миноры более высокого порядка: r + 1, r + 2 и т. д. равны нулю.

Пусть нужно найти ранг матрицы А

Согласно определению ранга матрицы его значение не может превышать 3

Вычислим один из определителей третьего порядка матрицы А

Итак, ранг матрицы А равна 3.

Обратная матрица. Обращение (инвертирование) матриц

Понятие обратной матрицы является одним из центральных в матричных преобразованиях. Дадим определение обратной матрицы и рассмотрим ее нахождения.

Определение 3.22. Для каждой невырожденной матрицы А порядка n n существует однозначно определена обратная матрица того же порядка, такая что выполняется равенство

(3.18)

& mdash; единичная матрица порядка n .

Итак, условие невироджености (несингулярности) матрицы А является необходимым и достаточным для существования обратной матрицы. Процесс нахождения называют инвертированием матрицы А

А инвертирование

Таким образом, инвертироваться могут только квадратные матрицы, определитель которых отличен от нуля .

Теорема 3.1. Если определитель ( det А ) не равна нулю, то матрица А имеет обратную