Элементы матричных преобразований часть 2

(3.19)

где & mdash; определитель матрицы А ; J & mdash; так называемая присоединена к А матрица. Она состоит из алгебраических дополнений к элементам матрицы А , а именно:

Итак,

(3.20)

Приведем основные свойства обратной матрицы:

а) ;

б);

в)

г);

д);

е).

Дадим определение еще одного типа матриц.
Ден Сяосю

если матрицу называют ортогональной.

Пример 3.2. Найти матрицу обратную к матрице А

(см. Подразд. 3.3).

Определим присоединенную матрицу J

Итак,

Тогда

Проверим, действительно ли матрица является обратной матрице А . Найдем или; в результате должно быть единичная матрицу Е . Итак, проверяется равенство = E

Блочные матрицы. Действия с блочными матрицами

Определение блочных матриц

В целом ряде случаев целесообразно большие матрицы разбивать вертикальными и горизонтальными прямыми на несколько частей. Например, пусть матрица А имеет порядок 56:

(3.21)

(3.21)

разобьем ее на четыре подматрицы

Тогда матрицу А запишем:

(3.22)

Таким образом, имеем два разных записи одной и той же матрицы А . В (3.22) матрица А состоит из блоков элементов, или подматриц, поэтому такую ​​матрицу часто называют блочной. Разбивка матрицы делают так, чтобы подматрицы, которые стоят рядом (- , -), должны равное количество строк (соответственно r ; m — r ), а подматрицы, расположенные одна под другой (- , -), & mdash; равное количество столбцов, а именно: s ; n — s (3.21).

Недопустимы такие разбиения матриц, схемы которых показаны на рис. 3.2 и 3.3.

Действия с блочными матрицами

а) Добавление матриц.

Пусть имеем блочные матрицы А i B одного и того же порядка и одинаково разбиты

Матрица также блочной матрицей того же порядке, что и матрицы А i B

(3.23)

Таким образом, при добавлении (вычитании) блочных матриц прежде всего должна выполняться условие, что соответствующие матрицы-слагаемые имеют одинаковый порядок.

Заметим, если матрицы разбиты таким образом, что можно выполнить действие подобно тому, как это сделано при добавлении матриц А i B в (3.23), то такое разбиение называется «соответствующее».

б) Умножение матриц.

Пусть А & mdash; матрица порядка m k ; a B & mdash; матрица порядка k n . В таком случае существует произведение С = АВ (см. Рис.3.1). Пусть матрицу А разбиты на две подматрицы:

(3.25)

(3.24)

Д

(3.24)

ругу матрицу В разбиты на две подматрицы,

(3.25)

Произведение двух матриц является матрица,

где имеет порядок m s ; — s n ;

 — m ( k — s ) — ( k — s ) n .

Пусть матрицы А i B разбиты соответственно на четыре подматрицы

Тогда соответствующие подматрицы имеют размеры:

< p> — r s ; — ( m — r ) s ;

 — r ( k — s ) — ( m — r ) ( k — s )

 — s p ; — ( k — s ) p ;

 — s ( n — p ) — ( k — s ) ( n — p ).

Произведение С = АВ состоит из четырех подматриц C 11 , C 12 , C 21 , C 22

Размеры подматриц соответственно равны:

 — r p ; — r ( n  — p )

 — ( m  — r ) p ; — ( m  — r ) ( n  — p ).

Итак, при умножении блочных матриц должен существовать соответствие между количеством столбцов первой матрицы А и количеством строк второй матрицы В , то есть они должны быть равными.

Далее с блочными матрицами выполняют операцию умножения по тем же правилам, что и с обычными матрицами.

Пример 3.3. Найти произведение С = АВ двух блочных матриц А i B

Вычисляем произведение С = АВ

;

Запишем блочную матрицу-произведение С = АВ

(3.26)

В

(3.26)

тже, блочная матрица С = АВ имеет столько строк, сколько их имеет блочная матрица А ( m = 3 ), и столько столбцов, сколько их имеет блочная матрица В ( n = 4).

Существует понятие прямого или кронеккерового, произведения двух матриц. Если матрица А имеет порядок m n , а матрица В & mdash; размер p q , то их прямое произведение сказывается и вычисляется так:

Порядок матрицы является mp nq < / I>.

Пример 3.4. Найти прямое произведение, если

А имеет порядок 2 март; В & mdash; порядок 2 февраля; & mdash; порядок 4 6.

Если матрицы А и B квадратные и невырожденные, а также имеют один и тот же размер, то оправдывается свойство: (в отличие от.

Для блочной матрицы

существует такое правило транспонирования

;

умножения блочной матрицы на число выполняется так:

Обращение блочных матриц (формула Фр обениуса).Детерминант блочной матрицы

Пусть А & mdash; невырожденная матрица, которая является блочной

Обратная до А матрица & mdash; также блочная, причем

, (3.27)

где;

Выражение (3.27) известен в литературе как формула Фробениуса. Для обратной матрицы выполняется равенство:, где Е & mdash; единичная подматрицы.

Запомните следующее выражение:

, (3.28)

где А i D & mdash; невырожденные матрицы соответственно размеру m n i n n ; матрица В & mdash; порядке m n .

Детерминант (определитель) квадратной блочной матрицы А определяется как

(3.29)

Пусть матрица А & mdash; невырожденная и имеет блочно-диагональный вид:

, (3.30)

Определитель такой блочной матрицы:

Определитель блочно-диагональных матриц

(3.31)

и

. (3.32)

ЛИТЕРАТУРА

  1. Джонстон Дж. эконометрические методы. & Mdash; М., 1980.

  2. Дрейлер Н., Смит Г. Прикладной регрессионный анализ. & mdash; М .: Финансы и статистика, 1986.

  3. Кейн Э. Экономическая статистика и эконометрия. & mdash; М .: 1977. — Вып.12.

  4. Класc А., Гергель К., Колек Ю., Шуян И. Введение в эконометрической моделирование. — М., 1975.

  5. Крамер Г. Математические методы статистики. & mdash; М., 1975.

  6. Ланге О. Введение в эконометрику. — М., 1964.

  7. Лизер С. эконометрические методы и задачи. — М., 1971.

  8. Линник Ю. В. Метод наименьших квадратов и основы математико-статистической обработки наблюдений. & mdash; М., 1962.

  9. Маленво Э. Статистические методы в эконометриы. & mdash; М., 1975 — 1 976. Вып. 1,2.

  10. Мальцев А. Н. Основы линейной алгебры. — М., 1975.

  11. Пирогов Г., Федоровский Ю. Проблемы структурного оценивания в эконометриы. — М., 1979.

  12. Тинтнер Г. Введение в эконометрию. — М., 1964.

  13. Фишер Ф. Проблема идентификации в эконометриы. & mdash; М., 1978.

  14. Чупров А. А. Основные проблемы теории корреляции. & mdash; М., 1960. второй изд.

  15. Klein LR, Goldberger AS An Ekonometric Model of United States, 1929 — 1952 North Holland, Amsterdam, 1964