Метод инструментальных переменных часть 3

Реферат на тему:

Метод инструментальных переменных

Свойства оценок модели при стохастических переменных

В предыдущих разделах, рассматривая модель

мы исходили из предположения, что переменные X являются детерминированными и приобретают значение из некоторого множества фиксированных цифр. Однако, исходя из экономических исследований, целесообразно заменить это предположение на менее жесткое, согласно которому переменные X является стохастической. В таком случае возникает вопрос, справджуватимуться и тогда основные результаты, касающиеся проверки значимости, доверительных интервалов и т. д. При условии, что переменные X имеют функцию розпoдилу, никак не связанную с параметрами a и, и все эти переменные распределены независимо от остатков u , подавляющее большинство этих результатов будет выполняться и для тех эконометрических моделей, которые имеют стохастическую матрицу объяснительных переменных X .

Пусть & mdash; оценка скалярного параметра a . Верхний его индекс указывает на размер выборочной совокупности, на основе которой оценены эти параметры.

Определение 9.1. Совокупность оценок наблюдений называется последовательностью оценок:

.

Определение 9.2. Если последовательность математического ожидания параметров стремится к некоторой константы, то эта константа является асимптотическим ожиданиям, то есть.

Определение 9.3. Предельное значение последовательности дисперсий для называется асимпотичною дисперсией

Поскольку для n & # 61614; & # 61605; выражение в правой части может быть равна нулю, то дисперсия представляет собой единую точку, в частности.

Определим асимптотические свойства оценок 1МНК в общей линейной модели со стохастическими пояснительными переменными:

где X & mdash; независимая по всех и каждого из элементов вектора u , есть

а) (9.1а)

б) (9.1 б)

в). (9.1в)

Кроме того, предположим, что выполняются следующие равенства:

а) (9.2а)

б); (9.2б)

в). (9.2в)

Предположение (9.2а) означает: дисперсия стала для всех остатков.

Предположение (9.2б) утверждает существование границы по вероятности для дисперсий (вторых моментов) переменной X , которые образуют матрицу.

Предположение (9.2в) имеет следующее содержание: граница по вероятности ковариаций между переменными X и остатками u равна нулю.

Оценка параметров a 1МНК подается в виде

.

Отсюда

.

Итак, оценка, полученная с помощью 1МНК, является обоснованной.

Асимптотическая матрица ковариаций для такова:

или

(9.3)

Поскольку

а (9.4)

где

то 1МНК обеспечивает обоснованную оценку асимптотических дисперсий и ковариаций ошибок, когда в модели объяснительные переменные являются стохастическими .

Очень часто на практике переменные X не могут быть полностью независимыми от u , как это предполагалось ранее. Например, одной из объяснительных переменных может быть лагов значения зависимой переменной Y , что может привести к смещению оценки 1МНК для конечных выборочных совокупностей.

Рассмотрим модель

, (9.5)

где.

Поскольку влияет на, а влияет на, то и влияет на даже тогда, когда последовательные значения остатков независимы. Но когда значение независимы, то обратная зависимость, то есть зависимость между и, может отсутствовать. Как мы видели, обоснованность оценки 1МНК зависит от двух предположений:

1)

2)

Для (9.5) второе условие имеет вид

< p> Когда, то можно сказать, что. А это значит, что для модели, которая содержит лаговые значение зависимой переменной, можно ожидать, что оценка 1МНК будет обоснованной.

Метод инструментальных переменных

Если одна или более из переменных Х предельно коррелирует с остатками, то есть

то это означает, что оценки 1МНК необоснованны. Заметим, что даже если один элемент вектора, мы можем получить все элементы векторa необоснованными.

Корреляция между пояснительными переменными и остатками достаточно серьезным препятствием для применения 1МНК. Такая корреляция может возникнуть по разным причинам, но основными являются три:

1) ошибки измерения объяснительных переменных

2) построение эконометрической модели с системой одночасовой уравнений;

3) наличие в эконометрической модели лаговых переменных.

К лаговых объяснительных переменных относить такие переменные, которые влияют на зависимую переменную через определенный промежуток времени. Например, если зависимая переменная в период t зависит от уровня того же переменной в период, то эта переменная входит в перечень объяснительных переменных модели, которые в таком случае становятся стохастическими. Они включают лагов зависимую переменную, которая является стохастической и имеет связь с остатками.

При существовании корреляции между пояснительными переменными и остатками можно применить распространенный альтернативный метод оценки, который называется методом инструментальных переменных.

Рассмотрим модель

, (9.6)

для которой

.

Предположим, что существует матрица Z порядка n m , которая обладает следующими свойствами:

1); (9.7)

2), (9.8)

где матрица & mdash; невырожденная и, кроме того, существует граница

(9.9)

Итак, предполагается, что переменные Z предельно некоррелированы с остатками u , а их перекрестные моменты со сменными X не все равны нулю и создают невырожденной матрицу. Если некоторые из переменных X не коррелируют с остатками u , то их можно использовать для формирования столбцов матрицы Z и находить дополнительные инструментальные переменные только для тех столбцов оставшиеся.

Оператор оценивания вектора a с помощью инструментальных переменных можно записать так:

(9.10)

Чтобы получить его, умножим слева модель (9.6) на

(9.11)

Поскольку, то

Отсюда получаем оператор оценивания (9.10), который обеспечивает определение обоснованной оценки, в чем можно убедиться , подставив (9.6) в (9.10). имеем:

;

Асимптотическая матрица ковариаций

(9.12)

На практике (9.12) вычисляют так:

(9.13)

< p> где.

Реальная трудность применения этого метода заключается в нахождении переменных, которые можно использовать как инструментальные. Истинный распределение их установить практически невозможно, а потому трудно убедиться, что выбранные инструментальные переменные действительно не коррелируют с остатками. В то же время эти переменные должны иметь достаточно высокую корреляцию с переменными X , потому что в противном случае выборочные дисперсии для оценок, полученных с помощью инструментальных переменных, будут очень большими.

Коротко требования к инструментальным переменных Z можно сформулировать так:

1) Z тесно связаны с X ;

2) Z совсем не связаны с остатками u .

Определение инструментальных переменных

Рассматривая способы определения инструментальных переменных, воспользуемся простейшими эконометрическими моделями, которые использовались в различных операторах оценок.

9.3.1. Оператор оценивания Вальда

Пусть эконометрическая модель имеет вид

(9.14)

В таком случае, если выборочная совокупность содержит четное число наблюдений, то матрица инструментальных переменных Z запишется так:

Чтобы определить вторую строчку этой матрицы, необходимо выполнить следующие действия

1 найти отклонения каждого элемента вектора X < / I> от медианы.

Матрица объяснительных переменных для этой модели запишется в виде:

Матрица инструментальных переменных на основе данной матрицы вместо строки пояснительной переменной содержать строку инструментальной.

2. величины отклонений, имеющих знак «плюс», заменяются на единицы, величины отклонений, имеющих знак «минус», & mdash; на единицу с этим знаком.

Используя оператор оценивания

имеем:

(9.15)

где и характеризует средние отклонения значений X соответственно вверх и вниз от медианы, а и & mdash; средние значения зависимой переменной, которые соответствуют средним и. Отсюда

(9.16)

Это означает, что параметр в модели (9.14) представляется в виде:

(9.17)

причем